Для вычисления значения выражения (\frac{8x^{-2}}{7 - x^{-2}} - \frac{8x^{-2}}{7 + x^{-2}}) при (x = 5), сначала подставим значение (x) в выражение.

Сначала вычислим (x^{-2}) для (x = 5):

[
x^{-2} = \frac{1}{x^2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}
]

Теперь подставим (x^{-2}) в выражение:

[
\frac{8 \cdot \frac{1}{25}}{7 - \frac{1}{25}} - \frac{8 \cdot \frac{1}{25}}{7 + \frac{1}{25}}
]

Упростим выражение:

Сначала разбираем первую дробь:

[
7 - \frac{1}{25} = \frac{175}{25} - \frac{1}{25} = \frac{174}{25}
]
Поэтому первая дробь:

[
\frac{8 \cdot \frac{1}{25}}{\frac{174}{25}} = \frac{8}{174} = \frac{4}{87}
]

Теперь для второй дроби:

[
7 + \frac{1}{25} = \frac{175}{25} + \frac{1}{25} = \frac{176}{25}
]
Поэтому вторая дробь:

[
\frac{8 \cdot \frac{1}{25}}{\frac{176}{25}} = \frac{8}{176} = \frac{1}{22}
]

Теперь подставляем эти значения в выражение:

[
\frac{4}{87} - \frac{1}{22}
]

Для выполнения вычитания необходимо привести дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для (87) и (22) будет (1914). Теперь преобразуем дроби:

[
\frac{4}{87} = \frac{4 \times 22}{87 \times 22} = \frac{88}{1914}
]
[
\frac{1}{22} = \frac{1 \times 87}{22 \times 87} = \frac{87}{1914}
]

Теперь подставим их в выражение:

[
\frac{88}{1914} - \frac{87}{1914} = \frac{88 - 87}{1914} = \frac{1}{1914}
]

Таким образом, значение выражения при (x = 5) равно:

[
\frac{1}{1914}
]