Чтобы найти радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника, если известен радиус окружности, вписанной в этот шестиугольник, воспользуемся следующими соотношениями.

Для правильного шестиугольника с радиусом вписанной окружности ( r ) и радиусом окружности, описанной вокруг него ( R ), выполняется следующее:

[
R = \frac{r}{\sqrt{3}}
]

Теперь подставим значение радиуса вписанной окружности ( r = 3 + 5\sqrt{3} ):

[
R = \frac{3 + 5\sqrt{3}}{\sqrt{3}}
]

Чтобы упростить это выражение, можем разделить каждую часть на ( \sqrt{3} ):

[
R = \frac{3}{\sqrt{3}} + \frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} + 5
]

Итак, радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника, равен ( \sqrt{3} + 5 ).