Чтобы доказать, что диагональ ( AC ) в ромбе ( ABCD ) является биссектрисой угла ( \angle BAD ), будем использовать свойства ромба.

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Таким образом, у нас есть следующие равенства:

[
AB = BC = CD = DA
]

Также в ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делят углы пополам. Обозначим точки пересечения диагоналей ( AC ) и ( BD ) как ( O ). Тогда мы можем записать:

[
AO = OC \quad \text{и} \quad BO = OD
]

Теперь, рассмотрим треугольники ( \triangle ABO ) и ( \triangle DCO ):

( AB = CD ) (каждая сторона ромба равна)( AO = OC ) (диагонали делят друг друга пополам)( BO = OD ) (также верно по свойству ромба)

Таким образом, по признаку равенства треугольников по стороне, двум прилежащим углам (SAS), мы имеем:

[
\triangle ABO \cong \triangle DCO
]

Это значит, что углы ( \angle OAB ) и ( \angle OCD ) равны:

[
\angle OAB = \angle OCD
]

Таким образом, угол ( \angle BAD ) равен сумме углов ( \angle OAB + \angle OAD ), и угол ( \angle CAD ) равен углам ( \angle OAC + \angle OAD ).

Поскольку ( \angle OAB = \angle OCD ), это означает, что ( AC ) делит угол ( \angle BAD ) на два равных угла, следовательно, ( AC ) является биссектрисой угла ( \angle BAD ).

Таким образом, мы доказали, что диагональ ( AC ) является биссектрисой угла ( BAD ).