Чтобы выяснить, является ли последовательность, заданная формулой суммы первых (n) членов, арифметической или геометрической прогрессией, сначала найдем (n)-й член последовательности:

Разберем оба случая.а) (S_n = n^2 + 100n)

Сначала найдем (a_n) — (n)-й член последовательности:

[
a_n = Sn - S{n-1}
]

Где:
[
S_{n-1} = (n-1)^2 + 100(n-1) = (n^2 - 2n + 1) + (100n - 100) = n^2 + 98n - 99
]

Теперь можем найти (a_n):
[
a_n = Sn - S{n-1} = (n^2 + 100n) - (n^2 + 98n - 99)
]
[
= n^2 + 100n - n^2 - 98n + 99
]
[
= 2n + 99
]

Это выражение показывает, что (a_n) не является постоянным, следовательно, последовательность не является арифметической прогрессией.

Проверим, является ли это геометрической прогрессией.

Чтобы быть геометрической прогрессией, отношение последовательных членов должно быть постоянным:
[
\frac{an}{a{n-1}} \text{ должно быть постоянным}.
]

Где:
[
a{n-1} = S{n-1} - S_{n-2}
]

Найдем (S{n-2}):
[
S{n-2} = (n-2)^2 + 100(n-2) = (n^2 - 4n + 4) + 100n - 200 = n^2 + 96n - 196
]

Теперь (a{n-1}):
[
a{n-1} = S{n-1} - S{n-2} = (n^2 + 98n - 99) - (n^2 + 96n - 196)
]
[
= n^2 + 98n - 99 - n^2 - 96n + 196
]
[
= 2n + 97
]

Теперь найдем отношение ( \frac{an}{a{n-1}} ):
[
\frac{an}{a{n-1}} = \frac{2n + 99}{2n + 97}
]

Эта дробь не является постоянной, следовательно, последовательность не является геометрической прогрессией.

Вывод для случая а:

Последовательность, заданная формулой (S_n = n^2 + 100n), не является ни арифметической, ни геометрической прогрессией.

б) (S_n = n^2 + 100n + 10000)

Сначала найдем (an) аналогично:
[
S{n-1} = (n-1)^2 + 100(n-1) + 10000
]
[
= (n^2 - 2n + 1) + (100n - 100) + 10000 = n^2 + 98n + 10001
]
Теперь найдем (a_n):
[
a_n = Sn - S{n-1} = (n^2 + 100n + 10000) - (n^2 + 98n + 10001)
]
[
= n^2 + 100n + 10000 - n^2 - 98n - 10001
]
[
= 2n + 999
]

Проверим на арифметическую и геометрическую прогрессию.

Для арифметической: разность (a_n) не постоянная.

Для геометрической: найдем (a{n-1}):
[
a{n-1} = S{n-1} - S{n-2} = (n^2 + 98n + 10001) - (n^2 + 96n + 10004)
]
[
= n^2 + 98n + 10001 - n^2 - 96n - 10004
]
[
= 2n + 997
]

Сравним:
[
\frac{an}{a{n-1}} = \frac{2n + 999}{2n + 997}
]

Эта дробь также не является постоянной, следовательно, последовательность не является геометрической прогрессией.

Вывод для случая б:

Последовательность, заданная формулой (S_n = n^2 + 100n + 10000), также не является ни арифметической, ни геометрической прогрессией.

Результат:

Обе последовательности не являются прогрессиями.