Вот пример задачи, который проверит ваше понимание различных разделов математики, включая алгебру, геометрию и логику.

Задача:

Дано твердое тело в виде куба с длиной ребра 1. Внутри этого куба находится цилиндр с радиусом ( r ) (где ( 0 < r < \frac{1}{2} )) и высотой ( h ), который полностью помещается в куб. Найдите максимальный объем этого цилиндра.

Шаги решения:

Запишите объем цилиндра: Объем цилиндра ( V ) вычисляется по формуле
[
V = \pi r^2 h.
]

Определите высоту цилиндра: Поскольку цилиндр помещается внутри куба, максимальная высота цилиндра ( h ) при заданном радиусе ( r ) равна величине, которая ограничена размерами куба.
Если цилиндр стоит на основании куба, его высота ( h ) может принимать значения от 0 до 1, то есть
[
h \leq 1.
]

Параметризация задачи: Объем цилиндра можно переписать как
[
V(r, h) = \pi r^2 h.
]
Мы можем выразить ( h ) через ( r ) (или наоборот), но в данном контексте просто предположим, что ( h ) максимально достигает 1:
[
V(r) = \pi r^2 \cdot 1 = \pi r^2.
]

Поиск максимума объема: Чтобы найти максимальный объем относительно ( r ), нужно взять производную объема по ( r ) и приравнять её к нулю:
[
\frac{dV}{dr} = 2\pi r.
]
Устанавливаем
[
2\pi r = 0 \Rightarrow r = 0.
]
Но мы ищем значения между ( 0 ) и ( \frac{1}{2} ).

Проверка границ: Объем максимален при достижении границ ( r ):
[
V\left(\frac{1}{2}\right) = \pi \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{\pi}{4}.
]

Таким образом, максимальный объем цилиндра при условии, что он помещается в кубе, будет равен ( \frac{\pi}{4} ) при радиусе ( r = \frac{1}{2} ) и высоте ( h = 1 ).

Доказательство понимания:

После решения задачи вы можете написать краткое изложение шагов, которые вы предприняли, чтобы прийти к ответу, объяснить, как вы интерпретировали ограничения задачи и как могли бы применить этот подход к похожим задачам.

Вы пишете

>> Если цилиндр стоит на основании куба

и дальше приводите решение для этого случая. А где доказательство, что максимальный объем достигается именно в этом случае, а не в каком-то ином?