Скалярное произведение (или внутреннее произведение) двух векторов в (\mathbb{R}^n) определяется как:

[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = | \mathbf{a} | | \mathbf{b} | \cos(\theta)
]

где (|\mathbf{a}|) и (|\mathbf{b}|) — это длины (модули) векторов (\mathbf{a}) и (\mathbf{b}), а (\theta) — угол между ними.

Механический смысл скалярного произведения можно объяснить следующим образом:

Работа: Если вектор (\mathbf{a}) представляет собой силу, а вектор (\mathbf{b}) — перемещение, то скалярное произведение (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) дает работу, выполняемую этой силой при перемещении. Работа рассчитывается как произведение силы на перемещение, умноженное на косинус угла между ними.

Проекция: Скалярное произведение также можно интерпретировать как величину, пропорциональную проекции одного вектора на другой. В частности, (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) можно записать как произведение длины вектора (\mathbf{a}) на длину проекции вектора (\mathbf{b}) на вектор (\mathbf{a}).

Таким образом, скалярное произведение свяжет векторы с физическими величинами и может быть интерпретировано в контексте работы и проекции векторов.