Чтобы решить сумму (1 \frac{10}{11} + 1 \frac{11}{12} + 1 \frac{12}{13} + ... + 1 \frac{99}{100}), сначала преобразуем каждое слагаемое в более удобный вид.

Каждое слагаемое можно записать так:
[
1 \frac{n}{n+1} = 1 + \frac{n}{n+1} = \frac{n+1}{n+1} + \frac{n}{n+1} = \frac{n+1+n}{n+1} = \frac{2n+1}{n+1}
]
где (n) принимает значения от (10) до (99).

Теперь наша цель — посчитать сумму:
[
\sum_{n=10}^{99} \frac{2n+1}{n+1}
]

Эту сумму можно разделить на две части:
[
\sum{n=10}^{99} \frac{2n}{n+1} + \sum{n=10}^{99} \frac{1}{n+1}
]

Теперь вычислим вторую сумму:
[
\sum{n=10}^{99} \frac{2}{n+1} = 2 \sum{n=11}^{100} \frac{1}{n}
]
Это гармоническая сумма. Для её вычисления можем воспользоваться приближением:
[
\sum{k=1}^{m} \frac{1}{k} \approx \ln(m) + \gamma
]
где (\gamma) — постоянная Эйлера (приблизительно 0.577). В данном случае:
[
\sum{n=11}^{100} \frac{1}{n} \approx \ln(100) - \ln(11) = \ln\left(\frac{100}{11}\right) \approx \ln(9.09) \approx 2.20
]

Поэтому
[
\sum_{n=10}^{99} \frac{2}{n+1} \approx 2 \times 2.20 \approx 4.40
]

Теперь можем собрать всё вместе:
[
\sum_{n=10}^{99} \frac{2n}{n+1} \approx 180 - 4.40 = 175.60
]

Вторая часть:
[
\sum{n=10}^{99} \frac{1}{n+1} \approx \sum{n=11}^{100} \frac{1}{n} \approx 4.60\quad(\text{продолжая из предыдущего расчета})
]

Теперь объединим всё:
[
\sum_{n=10}^{99} \frac{2n+1}{n+1} = 175.60 + 4.60 = 180.20
]

Таким образом, итог:
[
1 \frac{10}{11} + 1 \frac{11}{12} + 1 \frac{12}{13} + \ldots + 1 \frac{99}{100} \approx 180.20
]

Вот, в продолжение темы, конкретный пример Хелперовой чуши.

Даны 90 слагаемых, каждое из которых меньше 2.

Ответ Хелпера: сумма равна 180.20