Для упрощения выражения (\sqrt{-\frac{243}{21}}), сначала выделим наибольший натуральный множитель под знаком корня.

Начнем с упрощения дроби:
[
-\frac{243}{21} = -\frac{81 \cdot 3}{3 \cdot 7} = -\frac{81}{7}
]
Таким образом, мы можем переписать выражение как:
[
\sqrt{-\frac{243}{21}} = \sqrt{-\frac{81}{7}}
]

Вынесем наибольший натуральный множитель из под знака корня. В данном случае это (-81):
[
= \sqrt{-1 \cdot \frac{81}{7}} = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{\frac{81}{7}}
]

Теперь посчитаем (\sqrt{81}):
[
\sqrt{81} = 9
]
Тогда у нас получится:
[
\sqrt{-1} \cdot \sqrt{\frac{81}{7}} = i \cdot \frac{9}{\sqrt{7}} = \frac{9i}{\sqrt{7}}
]

Можно привести к рациональному знаменателю:
[
\frac{9i}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}} = \frac{9i \sqrt{7}}{7}
]

Итак, окончательный ответ:
[
\sqrt{-\frac{243}{21}} = \frac{9i \sqrt{7}}{7}
]