Для решения задачи сначала нам нужно найти длины отрезков AO и OD, usando соотношение, которое связывает длины диагоналей трапеции и длины её оснований.

В трапеции ABCD с основаниями AD и BC, если пересекаются диагонали AC и BD в точке O, то выполняется соотношение:

[
\frac{AO}{OC} = \frac{AD}{BC}
]

Обозначим длины отрезков AO и OC через x и (27 - x) соответственно. Тогда мы имеем:

[
\frac{x}{27 - x} = \frac{30}{15}
]

Сократим правую часть:

[
\frac{x}{27 - x} = 2 \implies x = 2(27 - x)
]

Раскроем скобки:

[
x = 54 - 2x
]

Теперь соберём все слагаемые с x в одну сторону уравнения:

[
x + 2x = 54 \implies 3x = 54 \implies x = 18
]

Таким образом, отрезок AO равен 18 см. Теперь мы можем найти длину отрезка OC:

[
OC = 27 - AO = 27 - 18 = 9 \text{ см}
]

Теперь применим то же самое соотношение для диагонали BD. Обозначим OD как y и BD как (33 - y).

Запишем аналогичное отношение:

[
\frac{BO}{OD} = \frac{BC}{AD} = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}
]

Так что, аналогично:

[
\frac{y}{33 - y} = \frac{1}{2}
]

Перемножим:

[
2y = 33 - y \implies 2y + y = 33 \implies 3y = 33 \implies y = 11
]

Таким образом, OD равно 11 см.

Теперь мы можем найти периметр треугольника AOD:

[
AO + OD + AD = AO + OD + 30
]

Подставим значения:

[
18 + 11 + 30 = 59 \text{ см}
]

Таким образом, периметр треугольника AOD равен 59 см.