В прямоугольном треугольнике, где один из острых углов равен 60°, можно использовать свойства треугольника для нахождения длины катета. Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле:

$$S=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b$$

где $a$ и $b$ — длины катетов. В данном случае нам известна площадь $S=72\sqrt{3}$.

Также, зная, что один из углов равен 60°, мы можем обозначить длину прилежащего катета как $a$, а противолежащего как $b$.

Известно, что в прямоугольном треугольнике, где один из острых углов 60°, отношение катетов таково:

$$\tan (60°)=\frac{b}{a}=\sqrt{3}$$

Отсюда следует, что:

$$b=a\cdot \sqrt{3}$$

Теперь подставим это выражение в формулу площади:

$$72\sqrt{3}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot (a\sqrt{3})$$

Упрощая, получаем:

$$72\sqrt{3}=\frac{1}{2}\cdot a^2\sqrt{3}$$

Умножим обе стороны на 2:

$$144\sqrt{3}=a^2\sqrt{3}$$

Теперь разделим обе стороны на $\sqrt{3}$:

$$144=a^2$$

И, извлекая корень, получаем:

$$a=\sqrt{144}=12$$

Таким образом, длина катета, прилежащего к углу 60°, равна $12$.