Чтобы найти площадь треугольника, можно использовать формулу:

$$S=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot \sin (C)$$

где $a$ и $b$ — это длины сторон, а $C$ — угол между ними.

В нашем случае:

Сначала найдем синус угла:

$$\sin (30^{\circ })=\frac{1}{2}.$$

Теперь подставим значения в формулу для площади:

$$S=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 15\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 15\cdot 0.5=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 7.5=15{\text{см}}^2.$$

Теперь найдем третью сторону, используя закон косинусов:

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \cos (C)$$

Подставим известные значения:

$$c^2=4^2+15^2-2\cdot 4\cdot 15\cdot \cos (30^{\circ }).$$

Зная, что $\cos (30^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{2}$, мы получаем:

$$c^2=16+225-2\cdot 4\cdot 15\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=16+225-60\sqrt{3}.$$

Теперь упростим:

$$c^2=241-60\sqrt{3}.$$

Затем найдём $c$:

$$c=\sqrt{241-60\sqrt{3}}.$$

Таким образом, площадь треугольника равна $15{\text{см}}^2$, а длина третьей стороны равна $\sqrt{241-60\sqrt{3}}$ см.