Чтобы найти площадь треугольника, воспользуемся формулой для площади треугольника, когда известны две стороны $a$ и $b$, и угол $C$ между ними:

$$S=\frac{1}{2}ab\sin (C)$$

В нашем случае $a=4\text{см}$, $b=15\text{см}$, и угол $C=30^{\circ }$. Подставляем значения в формулу:

$$S=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 15\cdot \sin (30^{\circ })$$

Зная, что $\sin (30^{\circ })=\frac{1}{2}$, получаем:

$$S=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 15\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 15\cdot 0.5=\frac{30}{2}=15{\text{см}}^2$$

Теперь найдем третью сторону $c$ с помощью теоремы косинусов:

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos (C)$$

Подставляем значения:

$$c^2=4^2+15^2-2\cdot 4\cdot 15\cdot \cos (30^{\circ })$$

Зная, что $\cos (30^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{2}$:

$$c^2=16+225-2\cdot 4\cdot 15\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Упрощаем выражение:

$$c^2=16+225-60\sqrt{3}$$ $$c^2=241-60\sqrt{3}$$

Теперь можем найти $c$:

$$c=\sqrt{241-60\sqrt{3}}$$

Таким образом, площадь треугольника составляет $15{\text{см}}^2$, а длину третьей стороны $c$ можно выразить как $\sqrt{241-60\sqrt{3}}$ см.