Чтобы найти производную функции $y=x\ln x$, необходимо использовать правило произведения. Правило произведения гласит, что если $y=u\cdot v$, то производная $y^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$.

В нашем случае:

Теперь найдем производные $u^{\prime }$ и $v^{\prime }$:

Теперь можем подставить эти выражения в формулу для производной:
$$y^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$$

Подставим значения:
$$y^{\prime }=(1)(\ln x)+(x)\left(\frac{1}{x}\right)$$

Упрощаем:
$$y^{\prime }=\ln x+1$$

Таким образом, производная функции $y=x\ln x$ равна:
$$y^{\prime }=\ln x+1$$