Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции ( y = 3x^2 - x^3 ) на отрезке ([-1; 4]), нужно выполнить следующие шаги:

Найти производную функции и критические точки.

Вычислим производную функции:
[
y' = 6x - 3x^2
]
Приведем её к стандартному виду:
[
y' = 3x(2 - x)
]

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
[
3x(2 - x) = 0
]
Решим уравнение:
[
x = 0 \quad \text{или} \quad 2 - x = 0 \Rightarrow x = 2
]

Таким образом, критические точки: ( x = 0 ) и ( x = 2 ).

Определим значения функции в критических точках и на концах отрезка.

Найдем значения функции в точках ( x = -1, 0, 2, 4 ):

( x = -1 ):
[
y(-1) = 3(-1)^2 - (-1)^3 = 3(1) + 1 = 4
]

( x = 0 ):
[
y(0) = 3(0)^2 - (0)^3 = 0
]

( x = 2 ):
[
y(2) = 3(2)^2 - (2)^3 = 3(4) - 8 = 12 - 8 = 4
]

( x = 4 ):
[
y(4) = 3(4)^2 - (4)^3 = 3(16) - 64 = 48 - 64 = -16
]

Сравним найденные значения.

Теперь у нас есть значения функции в интересующих нас точках:

Наибольшее значение функции на отрезке ([-1; 4]) равно ( 4 ), а наименьшее значение равно ( -16 ).

Итак, наибольшее значение функции на отрезке ([-1; 4]) равно ( 4 ), а наименьшее значение равно ( -16 ).