Чтобы решить выражение ( \sin(1^\circ) \cdot \sin(2^\circ) \cdot \sin(3^\circ) \cdots \sin(99^\circ) ), можно воспользоваться некоторыми свойствами синуса и симметрией.

Первое, что стоит заметить, это то, что синус имеет периодicity и симметричное поведение. Мы можем использовать следующие свойства:

( \sin(x) = \sin(180^\circ - x) ).

Таким образом, для углов от ( 1^\circ ) до ( 99^\circ ) у нас есть пары:

( \sin(1^\circ) = \sin(179^\circ) )( \sin(2^\circ) = \sin(178^\circ) )...( \sin(89^\circ) = \sin(91^\circ) )( \sin(90^\circ) = 1 )

Так как ( \sin(n^\circ) ) и ( \sin((180 - n)^\circ) ) аналогичны, то мы можем делать такие пары вплоть до ( 89^\circ ).

Таким образом, мы можем сосредоточиться на значениях синуса от ( 1^\circ ) до ( 90^\circ ). Однако, поскольку в наш продукт входит ( \sin(90^\circ) ), который равен 1, это не вносит изменения в итоговый результат.

Но здесь также можно заметить, что для углов больше ( 90^\circ ) (например, ( \sin(91^\circ), \sin(92^\circ), \ldots, \sin(99^\circ) )), они будут равны нулю, так как на выходе они все равно преобразуются к значениям, которые имеют синус, равный нулю в этих углах.

Итак, в результате получаем:
[
\sin(1^\circ) \cdots \sin(99^\circ) = 0
]

Поскольку ( \sin(0^\circ) = 0 ) и в этом выражении синусы каждого из углов уже таковы, что дают ( 0 ). Таким образом, итоговый результат:
[
\sin(1^\circ) \cdot \sin(2^\circ) \cdots \sin(99^\circ) = 0
]