Чтобы найти наименьшие целые числа ( x ) и ( y ), удовлетворяющие уравнению ( 86x = 129y ), сначала выразим ( y ) через ( x ):

[
y = \frac{86}{129}x
]

Чтобы ( y ) было целым числом, ( x ) должно быть кратно ( 129 ), так как 129 является делителем. Рассмотрим обыкновенное дробное представление. Упростим дробь:

[
\frac{86}{129} = \frac{2 \cdot 43}{3 \cdot 43} = \frac{2}{3}
]

Это означает, что ( y = \frac{2}{3}x ). Чтобы ( y ) было целым числом, ( x ) должно быть кратно ( 3 ). Обозначим ( x = 3k ), где ( k ) — целое число. Теперь подставим ( x ) в уравнение для ( y ):

[
y = \frac{2}{3}(3k) = 2k
]

Теперь у нас есть выражения для ( x ) и ( y ):

[
x = 3k, \quad y = 2k
]

Чтобы найти минимальные положительные значения ( x ) и ( y ), выберем ( k = 1 ):

[
x = 3 \cdot 1 = 3, \quad y = 2 \cdot 1 = 2
]

Таким образом, наименьшие целые числа ( x ) и ( y ), удовлетворяющие данному уравнению, равны ( x = 3 ) и ( y = 2 ).