Чтобы вычислить (\tan\left(-\frac{11\pi}{4}\right)), давайте сначала упростим угол, переведя его в пределах одного полного оборота (то есть от 0 до (2\pi)).

Угол (-\frac{11\pi}{4}) можно перевести в положительное значение, добавив к нему (2\pi) (или ( \frac{8\pi}{4} )), пока не получим положительный угол:

[
-\frac{11\pi}{4} + 2\pi = -\frac{11\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4}
]

Если этого недостаточно, можно снова добавить (2\pi):

[
-\frac{3\pi}{4} + 2\pi = -\frac{3\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}
]

Теперь мы имеем положительный угол (\frac{5\pi}{4}).

Теперь можем вычислить тангенс:

[
\tan\left(-\frac{11\pi}{4}\right) = \tan\left(\frac{5\pi}{4}\right)
]

В третьем квадранте, где находится угол (\frac{5\pi}{4}), тангенс положителен, и его значение равно:

[
\tan\left(\frac{5\pi}{4}\right) = \tan\left(\pi + \frac{\pi}{4}\right) = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1
]

Учитывая, что тангенс в третьем квадранте положителен, мы имеем:

[
\tan\left(\frac{5\pi}{4}\right) = 1
]

Таким образом:

[
\tan\left(-\frac{11\pi}{4}\right) = 1
]

Как понять, сколько делать оборотов

Чтобы определить, сколько полный оборотов (по (2\pi)) необходимо добавить или вычесть, можно воспользоваться следующим подходом:

Полный круг (или один оборот) равен (2\pi).Если угол отрицательный, добавляем (2\pi) до тех пор, пока не получим положительное значение.Если угол положительный, вычитаем (2\pi) или его кратные, пока не получим угол в пределах от 0 до (2\pi).

В нашем случае:

(-\frac{11\pi}{4}) — это отрицательный угол. Мы добавили (2\pi) дважды (что составило (\frac{8\pi}{4})) и получили положительный угол (\frac{5\pi}{4}).