В трапеции ABCD с основаниями BC и AD, согласно свойствам трапеций, отрезки, соединяющие точки пересечения диагоналей и основания, делятся в отношении длины оснований.

Обозначим длины оснований:

( BC = a = 4 )( AD = b = 16 )

По свойствам трапеции известно, что если диагонали ( AC ) и ( BD ) пересекаются в точке ( O ), то выполняется следующее соотношение:

[
\frac{AO}{OC} = \frac{AB}{BC}
]
и
[
\frac{BO}{OD} = \frac{AB}{AD}
]

Сначала найдем длину отрезка ( AO + OC = AC = 12 ).

Обозначим ( OC = x ). Тогда ( AO = 12 - x ).

Теперь мы используем пропорцию, основанную на соотношении оснований:

[
\frac{AO}{OC} = \frac{AD - BC}{BC} \Rightarrow \frac{12 - x}{x} = \frac{16 - 4}{4} = \frac{12}{4} = 3
]

Теперь выразим ( AO ) и ( OC ) через ( x ):

[
12 - x = 3x
]

Решим это уравнение:

[
12 = 3x + x \Rightarrow 12 = 4x \Rightarrow x = 3
]

Таким образом, ( OC = 3 ).

Теперь проверим результат:

( AO = 12 - OC = 12 - 3 = 9 )Проверим отношение:
[
\frac{AO}{OC} = \frac{9}{3} = 3
]
и ( \frac{AD - BC}{BC} = \frac{16 - 4}{4} = 3 ).

Обе пропорции совпадают, значит все расчеты верны.

Следовательно, длина отрезка ( OC ) равна:

[
\boxed{3}
]