Давайте представим трехзначное число как ( xyz ), где ( x ), ( y ), и ( z ) — его цифры. Тогда у нас есть следующие условия:

( x + y + z = 15 )( x^2 + y^2 + z^2 = 89 )( xyz - 99 = zyx ) (это означает, что ( xyz = zyx + 99 ))

Сначала преобразуем третье условие:

Пусть число ( xyz ) можно записать как ( 100x + 10y + z ), а число ( zyx ) равно ( 100z + 10y + x ).

Тогда, подставив во второе уравнение, получаем:
[
100x + 10y + z - 99 = 100z + 10y + x.
]
Упрощаем это уравнение:
[
100x + z - 99 = 100z + x,
]
[
99x + z - 99 = 100z,
]
[
99x - 99 = 99z,
]
разделим обе стороны на 99:
[
x - 1 = z.
]
Таким образом, мы имеем ( z = x - 1 ).

Теперь подставим ( z ) в первые два уравнения.

( x + y + (x - 1) = 15 ):
[
2x + y - 1 = 15,
]
[
2x + y = 16 \quad \text{(1)}
]

( x^2 + y^2 + (x - 1)^2 = 89 ):
[
x^2 + y^2 + (x^2 - 2x + 1) = 89,
]
[
2x^2 + y^2 - 2x + 1 = 89,
]
[
2x^2 + y^2 - 2x - 88 = 0 \quad \text{(2)}
]

Теперь выразим ( y ) из уравнения (1):
[
y = 16 - 2x.
]

Подставим это значение в уравнение (2):
[
2x^2 + (16 - 2x)^2 - 2x - 88 = 0.
]
Раскроем скобки:
[
2x^2 + (256 - 64x + 4x^2) - 2x - 88 = 0,
]
собираем все:
[
6x^2 - 66x + 168 = 0.
]
Упростим это уравнение, разделим на 6:
[
x^2 - 11x + 28 = 0.
]
Решим его по формуле:
[
x = \frac{11 \pm \sqrt{(-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 28}}{2 \cdot 1} = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 112}}{2} = \frac{11 \pm 3}{2}.
]
Получаем два решения:
[
x_1 = \frac{14}{2} = 7, \quad x_2 = \frac{8}{2} = 4.
]
Теперь найдем ( y ) и ( z ) для каждого значения ( x ).

Если ( x = 7 ):
[
z = 7 - 1 = 6,
]
[
y = 16 - 2 \cdot 7 = 16 - 14 = 2.
]
Таким образом, получаем число ( 726 ).

Если ( x = 4 ):
[
z = 4 - 1 = 3,
]
[
y = 16 - 2 \cdot 4 = 16 - 8 = 8.
]
Таким образом, получаем число ( 483 ).

Теперь проверим оба числа на условия.

Для числа ( 726 ):

Сумма: ( 7 + 2 + 6 = 15 ) (выполняется)Сумма квадратов: ( 7^2 + 2^2 + 6^2 = 49 + 4 + 36 = 89 ) (выполняется)Обратное число: ( 726 - 99 = 627 ), и это действительно ( 726 ) в обратном порядке.

Для числа ( 483 ):

Сумма: ( 4 + 8 + 3 = 15 ) (выполняется)Сумма квадратов: ( 4^2 + 8^2 + 3^2 = 16 + 64 + 9 = 89 ) (выполняется)Обратное число: ( 483 - 99 = 384 ), и это ( 384 ) не равно ( 483 ) в обратном порядке.

Следовательно, наибольшее трехзначное число, соответствующее всем условиям, это ( 726 ).