Для решения задачи давайте обозначим:

( a_1, a_2, \ldots, a_n ) — количество чисел, записанных в каждый из ( n ) дней.( S_1, S_2, \ldots, S_n ) — сумма чисел, записанных в каждый из ( n ) дней.( m_1, m_2, \ldots, m_n ) — среднее арифметическое чисел, записанных в каждый из ( n ) дней.

Предположим, что в первый день на доску записано ( a_1 ) чисел, и пусть их сумма ( S_1 ). Тогда среднее арифметическое первого дня будет:

[
m_1 = \frac{S_1}{a_1} < 4
]

Это означает, что сумма чисел, записанных в первый день, удовлетворяет условию:

[
S_1 < 4a_1
]

На следующий день (второй день) записано ( a_2 < a_1 ) чисел и сумма чисел ( S_2 > S_1 ). Это значит, что мы можем записать:

[
S_2 > S_1
]

Аналогично, для третьего дня:

[
a_3 < a_2 \quad \text{и} \quad S_3 > S_2
]

И так далее.

Таким образом, для каждого дня выполняется:

[
S{i} > S{i-1} \quad \text{при} \quad ai < a{i-1} \quad \text{для} \ i = 2, 3, \ldots, n
]

Теперь найдем общее количество чисел и их сумму за все ( n ) дней:

Общее количество чисел за ( n ) дней:

[
A = a_1 + a_2 + \ldots + a_n
]

Общая сумма чисел за ( n ) дней:

[
S = S_1 + S_2 + \ldots + S_n
]

По условию:

[
\frac{S}{A} > 4.5
]

Следовательно,

[
S > 4.5A
]

Теперь мы очевидно видим, что для первого дня:

[
S_1 < 4a_1
]

Для второго дня, учитывая, что ( a_2 < a_1 ) и сумма больше, можем предположить, что каждый следующий день будет добавлять больше, но меньшими числами. Грубо говоря, если ( a_n \to 0 ), ( S_n ) может добавлять все больше, подстригая все предыдущие суммы.

Теперь подчеркнем, что если каждый день записывается максимум 5, и мы снизим количество и увеличим сумму, теоретически возможно прибытие к требуемым условиям, однако начальные значения не могут обеспечить требуемую арифметическую силу.

Рассматривая все условия и предположения, можно прийти к выводу, что такое распределение и соблюдение всех заданных условий в многодневной записи маловероятно, учитывая исходный и общий расчет. Ответ на вопрос: нет, это невозможно.