Чтобы решить данное дифференциальное уравнение 2-го порядка, начнем с упрощения самого уравнения. Уравнение имеет вид:

[
y'' + 3y' + 2y = 0
]

Первым шагом найдем характеристическое уравнение, связанное с данным дифференциальным уравнением. Мы можем записать характеристическое уравнение в следующем виде:

[
r^2 + 3r + 2 = 0
]

Решим это уравнение, используя формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

[
r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]

где (a = 1), (b = 3), (c = 2). Подставляя значения, получаем:

[
r = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} = \frac{-3 \pm 1}{2}
]

Таким образом, у нас есть два корня:

[
r_1 = \frac{-2}{2} = -1, \quad r_2 = \frac{-4}{2} = -2
]

Теперь, зная корни характеристического уравнения, мы можем записать общее решение дифференциального уравнения:

[
y(x) = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-2x}
]

Теперь нам нужно найти частные константы (C_1) и (C_2) с помощью начальных условий: (y(0) = 1) и (y'(0) = 4).

Сначала найдем (y(0)):

[
y(0) = C_1 e^{0} + C_2 e^{0} = C_1 + C_2 = 1 \quad (1)
]

Теперь найдем производную (y'(x)):

[
y'(x) = -C_1 e^{-x} - 2C_2 e^{-2x}
]

Теперь подставим (x = 0):

[
y'(0) = -C_1 - 2C_2 = 4 \quad (2)
]

Теперь у нас есть система уравнений:

[
\begin{cases}
C_1 + C_2 = 1 \quad (1)\
-C_1 - 2C_2 = 4 \quad (2)
\end{cases}
]

Решим ее. Из уравнения (1) выразим (C_1):

[
C_1 = 1 - C_2
]

Подставим это значение в уравнение (2):

[
-(1 - C_2) - 2C_2 = 4
]
[
-1 + C_2 - 2C_2 = 4
]
[
-1 - C_2 = 4
]
[
-C_2 = 5 \quad \Rightarrow \quad C_2 = -5
]

Теперь подставим значение (C_2) обратно в уравнение (1):

[
C_1 - 5 = 1 \quad \Rightarrow \quad C_1 = 6
]

Таким образом, мы нашли значения (C_1) и (C_2):

[
C_1 = 6, \quad C_2 = -5
]

Итак, частное решение нашего дифференциального уравнения будет:

[
y(x) = 6e^{-x} - 5e^{-2x}
]