Рассмотрим вашу задачу. У нас есть окружность радиуса 15, центр которой обозначим как O.

Точка A находится на расстоянии 25 от центра окружности O. Таким образом, расстояние AO = 25.

Мы знаем, что касательная к окружности из точки A пересекает окружность в точке P. По свойству касательной, нам известно, что отрезок AP будет перпендикулярен радиусу OP, проведенному в точку касания P.

Теперь найдем длину отрезка AP, используя теорему Пифагора. В данный момент у нас есть треугольник AOP, в котором:

AO — гипотенуза — 25,OP — один катет (радиус окружности) — 15,AP — второй катет (длина касательной).

По теореме Пифагора:

[
AP^2 + OP^2 = AO^2
]

Подставим известные значения:

[
AP^2 + 15^2 = 25^2
]

Это уравнение преобразуется в:

[
AP^2 + 225 = 625
]
[
AP^2 = 625 - 225
]
[
AP^2 = 400
]
[
AP = \sqrt{400} = 20
]

Таким образом, длина отрезка AP составляет 20.