Чтобы определить, до какой степени нужно разложить корень (e^x) по ряду Маклорена с заданной точностью (10^{-3}), сначала напишем ряд Маклорена для функции (e^x).

Ряд Маклорена для функции (e^x) выглядит следующим образом:

[
e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots
]

Если мы хотим разложить (e^x) до (n)-й степени, то это будет выглядеть так:

[
P_n(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!}
]

Чтобы оценить погрешность (остаточный член) при этом разложении, можем использовать формулу для остаточного члена:

[
R_n(x) = \frac{e^c x^{n+1}}{(n+1)!}
]

где (c) — некоторое значение между 0 и (x).

Мы хотим, чтобы величина ( |R_n(x)| < 10^{-3} ).

Степени (n) нужно подбирать, увеличивая её, пока не будет достигнуто требуемое условие.

Рассмотрим, например, (x = 1):

[
R_n(1) = \frac{e^c}{(n+1)!}
]

Для упрощения можно взять (c \approx 1), тогда (e^c \approx e \approx 2.718).

Теперь подставим:

[
R_n(1) \approx \frac{2.718}{(n+1)!}
]

Требуется, чтобы:

[
\frac{2.718}{(n+1)!} < 10^{-3}
]

Умножим обе стороны на ((n+1)!):

[
2.718 < 10^{-3} (n+1)!
]

Или:

[
(n+1)! > \frac{2.718}{10^{-3}} = 2718
]

Теперь подбираем значение (n):

Для (n = 5), ((5+1)! = 720) (не подходит).Для (n = 6), ((6+1)! = 5040) (подходит).

Таким образом, чтобы достичь точности (10^{-3}), нужно разложить (e^x) по Маклорену как минимум до 6-й степени.

Ответ: до 6-й степени.