Решим данное уравнение поэтапно:

1) Из начального уравнения:

[
\frac{| x - 4 |}{| x - 1 | - 3} = 1
]

Умножим обе стороны уравнения на ( | x - 1 | - 3 ) (при условии, что это выражение не равно нулю):

[
| x - 4 | = | x - 1 | - 3
]

Теперь нужно рассмотреть два случая в зависимости от значения выражений под модулем.

Случай 1: ( x - 4 \geq 0 ) и ( x - 1 \geq 0 ), т.е. ( x \geq 4 ).

Тогда уравнение примет вид:

[
x - 4 = x - 1 - 3
]

Упрощаем:

[
x - 4 = x - 4
]

Это не дает никакой новой информации, все значения ( x \geq 4 ) подходят.

Случай 2: ( x - 4 < 0 ) и ( x - 1 \geq 0 ), т.е. ( 1 \leq x < 4 ).

Тогда уравнение станет:

[
-(x - 4) = x - 1 - 3
]

Упрощаем:

[

Собираем все ( x ) с одной стороны:

[
4 + 4 = 2x \quad \Rightarrow \quad 8 = 2x \quad \Rightarrow \quad x = 4
]

Так как ( x = 4 ) уже попадает под случай 1, мы его не учитываем дважды.

Случай 3: ( x - 4 < 0 ) и ( x - 1 < 0 ), т.е. ( x < 1 ).

Уравнение тогда будет:

[
-(x - 4) = -(x - 1) - 3
]

Упрощаем:

[

Собираем:

[

Так как ( -x ) слева и справа аннулируются, у нас остается:

[
4 = -2 \quad \text{(это неверно)}
]

Таким образом, единственная часть, которую мы получили, ( x \geq 4 ).

Теперь, проверим границы. ( |x - 1| - 3 = 0 ) дает нам:

[
|x - 1| = 3 \Rightarrow x - 1 = 3 \text{ или } x - 1 = -3
]

Это дает решения:

[
x = 4 \quad \text{или} \quad x = -2
]

Кажем значения, которые удовлетворяют первоначальному уравнению.

Ответ: Наша область решений — ( x \geq 4 ) и ( x = -2 ).

Таким образом, окончательные решения уравнения:

( x = 4 ) и ( x = -2 ).