Чтобы решить дифференциальное уравнение второго порядка ( y'' + 10y' - 11y = 0 ), сначала найдем характеристическое уравнение:

[
r^2 + 10r - 11 = 0
]

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

[
D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-11) = 100 + 44 = 144
]

Корни характеристического уравнения находятся по формуле:

[
r_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 \pm \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 \pm 12}{2}
]

Теперь найдем корни:

( r_1 = \frac{-10 + 12}{2} = \frac{2}{2} = 1 )( r_2 = \frac{-10 - 12}{2} = \frac{-22}{2} = -11 )

У нас есть два различных действительных корня ( r_1 = 1 ) и ( r_2 = -11 ).

Общее решение линейного однородного уравнения будет иметь вид:

[
y(t) = C_1 e^{r_1 t} + C_2 e^{r_2 t}
]

Подставим найденные корни:

[
y(t) = C_1 e^{t} + C_2 e^{-11t}
]

где ( C_1 ) и ( C_2 ) — произвольные постоянные.

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения:

[
y(t) = C_1 e^{t} + C_2 e^{-11t}
]