Чтобы найти площадь параллелограмма, построенного на векторах ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ), нужно воспользоваться формулой:

[
S = |\mathbf{a} \times \mathbf{b}|
]

где ( \times ) обозначает векторное произведение.

Векторы ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) заданы как:

[
\mathbf{a} = 3\mathbf{p} + 2\mathbf{q}
]
[
\mathbf{b} = 2\mathbf{p} - \mathbf{q}
]

Сначала найдем векторное произведение ( \mathbf{a} \times \mathbf{b} ).

Для этого воспользуемся свойством векторного произведения:

[
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (3\mathbf{p} + 2\mathbf{q}) \times (2\mathbf{p} - \mathbf{q}) = 3\mathbf{p} \times (2\mathbf{p}) + 3\mathbf{p} \times (-\mathbf{q}) + 2\mathbf{q} \times (2\mathbf{p}) + 2\mathbf{q} \times (-\mathbf{q})
]

Из свойств векторного произведения, мы знаем, что:

( \mathbf{p} \times \mathbf{p} = \mathbf{0} )( \mathbf{q} \times \mathbf{q} = \mathbf{0} )( \mathbf{p} \times \mathbf{q} = -\mathbf{q} \times \mathbf{p} ), т.е. ( \mathbf{p} \times \mathbf{q} ) можно обозначить как ( \mathbf{n} ) (вектор, перпендикулярный плоскости, образованной (\mathbf{p}) и (\mathbf{q})).

Таким образом, выражение упрощается:
[
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = 0 - 3\mathbf{p} \times \mathbf{q} + 4\mathbf{q} \times \mathbf{p} + 0
]
[
= -3\mathbf{p} \times \mathbf{q} - 4\mathbf{p} \times \mathbf{q}
]
[
= -7\mathbf{p} \times \mathbf{q}
]

Теперь найдем модуль векторного произведения ( \mathbf{p} \times \mathbf{q} ):

[
|\mathbf{p} \times \mathbf{q}| = |\mathbf{p}| |\mathbf{q}| \sin(\theta)
]

где ( \theta ) — угол между векторами ( \mathbf{p} ) и ( \mathbf{q} ). Дано, что ( |\mathbf{p}| = 4 ), ( |\mathbf{q}| = 3 ) и ( \theta = \frac{3\pi}{4} ). Рассчитаем ( \sin(\theta) ):

[
\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}
]

Подставляем все значения:

[
|\mathbf{p} \times \mathbf{q}| = 4 \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}
]

Теперь найдем модуль векторного произведения ( \mathbf{a} \times \mathbf{b} ):

[
|\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = 7 |\mathbf{p} \times \mathbf{q}| = 7 \cdot 6\sqrt{2} = 42\sqrt{2}
]

Следовательно, площадь параллелограмма равна:

[
S = |\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = 42\sqrt{2}
]

Таким образом, площадь параллелограмма, построенного на векторах ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ), равна ( 42\sqrt{2} ).