Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции ( y = e^{x^2} + 3x ), необходимо найти первую производную функции и выяснить, где она положительна (функция возрастает) и где отрицательна (функция убывает).

Находим первую производную:

[ y' = \frac{d}{dx}(e^{x^2}) + \frac{d}{dx}(3x) ]

Используя цепное правило для производной ( e^{x^2} ):

[ \frac{d}{dx}(e^{x^2}) = e^{x^2} \cdot \frac{d}{dx}(x^2) = e^{x^2} \cdot 2x ]

Таким образом, производная функции:

[ y' = 2x e^{x^2} + 3 ]

Находим критические точки:

Для того чтобы найти критические точки, приравняем первую производную к нулю:

[ 2x e^{x^2} + 3 = 0 ]

Из этого уравнения:

[ 2x e^{x^2} = -3 ]

Поскольку ( e^{x^2} ) всегда положительно, левая часть уравнения также всегда будет положительной или равной нулю только при ( x = 0 ). Значит, уравнение не имеет реальных решений (кроме ( x=0 )), и следовательно, только этот момент может быть интересен.

Анализ знака производной:

Теперь проверим знак производной на интервалах. Мы рассмотрим три интервала: ( (-\infty, 0) ), ( (0, \infty) ).

Для ( x < 0 ):
[
y' = 2x e^{x^2} + 3 \quad \text{(где ( 2x e^{x^2} < 0 ))}
]
Можно заметить, что (-3) "перебивает" отрицательный вклад ( 2x e^{x^2} ). Следовательно, ( y' > 0 ).

Для ( x > 0 ):
[
y' = 2x e^{x^2} + 3 \quad \text{(где ( 2x e^{x^2} > 0 ))}
]
Таким образом, ( y' > 0 ).

Результат:При ( x < 0 ): функция возрастает.При ( x > 0 ): функция также возрастает.

Таким образом, функция:

Возрастает на интервалах ( (-\infty, +\infty) ).

Функция не убывает ни на одном из интервалов.