Для нахождения стороны ( AC ) в треугольнике ( ABC ) с заданными углами и стороной, мы можем использовать закон синусов.

Сначала находим угол ( C ). Углы треугольника в сумме равны ( 180^\circ ):
[
C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ
]

Теперь у нас есть все углы:
[
A = 60^\circ, \quad B = 45^\circ, \quad C = 75^\circ
]

Дано, что ( BC = 5\sqrt{6} ).

Применяем закон синусов, который гласит, что отношение стороны к синусу противолежащего угла одинаково для всех сторон треугольника:
[
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}
]
где ( a = BC ), ( b = AC ), ( c = AB ).

Подставим известные значения:
[
\frac{BC}{\sin C} = \frac{AC}{\sin A}
]
Подставим известные значения:
[
\frac{5\sqrt{6}}{\sin 75^\circ} = \frac{AC}{\sin 60^\circ}
]

Вычислим ( \sin 75^\circ ) и ( \sin 60^\circ ):

( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} )( \sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} )
[
= \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}
]

Теперь подставим значения в уравнение:
[
\frac{5\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}}
]

Упростим:
[
5\sqrt{6} \cdot \frac{4}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = AC \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}
]

Умножим обе стороны на ( \frac{\sqrt{3}}{2} ):
[
AC = \frac{5\sqrt{6} \cdot 4 \cdot \sqrt{3}}{2(\sqrt{6} + \sqrt{2})}
]

Упростим:
[
AC = \frac{10\sqrt{18}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{30}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{30(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{6 - 2}
]
[
= \frac{30(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} = \frac{15}{2}(\sqrt{6} - \sqrt{2})
]

Таким образом, длина стороны ( AC ) в треугольнике ( ABC ) равна ( \frac{15}{2}(\sqrt{6} - \sqrt{2}) ).