Для определения взаимного расположения заданных пар прямых, начнем с анализа каждой из них.

Прямая (a) задана параметрически:
[
\begin{cases}
x = t - 3 \
y = t - 1 \
z = t + 4
\end{cases}
]
Это можно переписать в векторной форме:
[
\mathbf{r_a} = \begin{pmatrix} -3 \ -1 \ 4 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \ 1 \ 1 \end{pmatrix}
]
Где (-3, -1, 4) - точка на прямой, а ((1, 1, 1)) - направляющий вектор.

Прямая (b) задана в виде уравнений:
[
\begin{cases}
x - 2y + z - 11 = 0 \
x + y - 2z + 12 = 0
\end{cases}
]
Чтобы найти направляющий вектор прямой (b), нужно найти его путем решения системы уравнений.

Решим систему уравнений. Исходя из первого уравнения, выразим (z):
[
z = 11 - x + 2y
]
Подставим это в второе уравнение:
[
x + y - 2(11 - x + 2y) + 12 = 0
]
Упрощаем:
[
x + y - 22 + 2x - 4y + 12 = 0 \
3x - 3y - 10 = 0 \
x - y = \frac{10}{3} \quad (1)
]

Теперь выразим (y) через (x):
[
y = x - \frac{10}{3}
]

Подставим (y) в выражение для (z):
[
z = 11 - x + 2\left(x - \frac{10}{3}\right) = 11 - x + 2x - \frac{20}{3} = 11 - \frac{20}{3} + x = x + \frac{13}{3}
]

Теперь мы можем выразить все параметры. Оба уравнения определяют линейную комбинацию:
[
\begin{cases}
x = 3s + \frac{10}{3} \
y = 3s \
z = 3s + \frac{13}{3}
\end{cases}
]
Для некоторого параметра (s).

Теперь запишем прямую в векторной форме:
[
\mathbf{r_b} = \begin{pmatrix} \frac{10}{3} \ 0 \ \frac{13}{3} \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 3 \ 3 \ 3 \end{pmatrix}
]

Теперь у нас есть две прямые (\mathbf{r_a}) и (\mathbf{r_b}):

(\mathbf{r_a} = \begin{pmatrix} -3 \ -1 \ 4 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \ 1 \ 1 \end{pmatrix})

(\mathbf{r_b} = \begin{pmatrix} \frac{10}{3} \ 0 \ \frac{13}{3} \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 3 \ 3 \ 3 \end{pmatrix})

Обе прямые имеют направляющие векторы, параллельные:
[
\begin{pmatrix} 1 \ 1 \ 1 \end{pmatrix} \text{ и } \begin{pmatrix} 3 \ 3 \ 3 \end{pmatrix}
]
Это значит, что они коллинеарны, что указывает на то, что векторы имеют одинаковое направление, то есть прямые (a) и (b) являются параллельными.

Для окончательных условий расположения надо бы проверить, пересекаются ли они в какой-то точке. Для этого решим:
[
\begin{pmatrix} -3 + t \ -1 + t \ 4 + t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{10}{3} \ 0 \ \frac{13}{3} \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 3 \ 3 \ 3 \end{pmatrix}
]
Это даст систему уравнений, чтобы проверить пересечение.

Таким образом, итоговое заключение: прямые (a) и (b) не пересекаются и являются параллельными.