Чтобы провести полное исследование функций ( y = \frac{x + 4}{x + 2} ) и ( y = (x - 1)e^{3x} + 1 ), рассмотрим каждую функцию по отдельности.

1. Функция ( y = \frac{x + 4}{x + 2} )Определение области определения

Функция определена для всех ( x ), кроме ( x = -2 ), так как в этой точке знаменатель равен нулю.

Область определения: ( x \in \mathbb{R} \setminus {-2} ).

Нахождение пределов

Посмотрим пределы функции при ( x \to -2 ) и ( x \to \pm \infty ):

( \lim_{x \to -2} y = \infty ) (функция стремится к бесконечности).( \lim_{x \to \infty} y = 1 ).( \lim_{x \to -\infty} y = 1 ).Нахождение производной

( y' = \frac{(x + 2)(1) - (x + 4)(1)}{(x + 2)^2} = \frac{-2}{(x + 2)^2} )

Анализ производной( y' < 0 ) при ( x \neq -2 ), то есть функция убывает на всем промежутке её определения.Никаких экстремумов у функции нет.Нахождение ассимптотВертикальная ассимптота: ( x = -2 ).Горизонтальная ассимптота: ( y = 1 ).График функции

График функции будет стремиться к горизонтальной ассимптоте ( y = 1 ) при ( x \to \pm \infty ) и увеличиваться до бесконечности при приближении к вертикальной ассимптоте ( x = -2 ).

2. Функция ( y = (x - 1)e^{3x} + 1 )Определение области определения

Функция определена для всех ( x \in \mathbb{R} ) (экспоненциальная функция определена на всей числовой прямой).

Нахождение пределов

Проанализируем пределы функции:

( \lim_{x \to -\infty} y = 1 ) (так как ( e^{3x} \to 0 )).( \lim_{x \to \infty} y = \infty ) (так как ( (x - 1)e^{3x} \to \infty )).Нахождение производной

Для нахождения производной мы используем правило произведения:

( y' = e^{3x} + (x - 1)(3e^{3x}) = e^{3x}(3(x - 1) + 1) = e^{3x}(3x - 2) ).

Анализ производной( y' = 0 ) при ( x = \frac{2}{3} ), это потенциальный экстремум.Для ( x < \frac{2}{3} ), ( y' < 0 ); для ( x > \frac{2}{3} ), ( y' > 0 ). Это означает, что в точке ( x = \frac{2}{3} ) есть минимум.Нахождение значения функции в точке минимума

( y\left(\frac{2}{3}\right) = \left(\frac{2}{3} - 1\right)e^{2} + 1 = -\frac{1}{3}e^2 + 1 ).

Нахождение ассимптотНикаких ассимптот у функции нет, учитывая её поведение на границах.График функции

График функции будет иметь минимум в точке ( x = \frac{2}{3} ), а при ( x \to -\infty ) приближаться к 1. При ( x \to \infty ) функция будет расти до бесконечности.

ИтогиГрафик функции ( y = \frac{x + 4}{x + 2} ) убывающая функция с ассимптотами.График функции ( y = (x - 1)e^{3x} + 1 ) имеет минимум и растёт вверх.

Для построения графиков можно использовать графические калькуляторы или программы вроде Desmos, GeoGebra и другие.