Для решения этой задачи давайте сначала обозначим некоторые участки и свойства треугольника ( \triangle MHK ).

Дано:

( KE = 12 ) (отрезок, который мы будем использовать).( KM = 24 ) (длина стороны треугольника).( KH = 14 ) (длина стороны треугольника).( MH = 36 ) (длина стороны треугольника).

Так как прямая, проходящая через точки ( E ) и ( T ), parallel стороне ( MN ), согласно свойству аналогичных треугольников, будет выполняться пропорция:

[
\frac{KE}{KM} = \frac{ET}{MN}
]

Сначала находим ( MN ). Поскольку у нас нет прямой информации о ( MN ), используя стороны треугольника и аналогии, мы можем воспользоваться отношениями.

Найдем длину ( KM ):
[
KM = 24
]

Теперь по аналогии также можем считать, что ( \frac{12}{24} = \frac{ET}{MN} ). Упростим:
[
\frac{1}{2} = \frac{ET}{MN} \implies ET = \frac{1}{2} \cdot MN.
]

Чтобы найти ( MN ), обратим внимание на то, что для нахождения площади можно использовать известные стороны треугольника. Но так как у нас данных о высотах нет, то может быть недостаточно информации для прямого нахождения ( MN ).

Чтобы найти соотношение переведем в симплексное отношение площадей. Рассмотрим площади треугольника:

Площадь треугольника ( \triangle KMN ) будет равна:

( P_{KMN} = 0.5 \cdot KM \cdot KH) (если определиться с высотой, которая является ( MH )).

С учетом величин с высотами, получится:

[
P_{KHM} = 0.5 \cdot KM \cdot \text{высота от } H \text{ до } KM,
]

где высота будет относиться к расстояниям.

Теперь соотношение относительно ( a ) (где вычисляется отношение):

( \frac{PKMH}{PKEHT} = \frac{KM}{KE} = \frac{24}{12} = 2 ).

Следовательно,

( P{KMN} : P{KET} = 2 : 1 ).

Таким образом, выводя первые части задачи мы можем обозначить ( ET ) и отношение площадей:

Принимая, что:

( P_{KMN} = x )

Запишем ( P_{KET} = \frac{x}{2} ).

Таким образом, (\boxed{ET = 12}) и (\boxed{P{KMN} : P{KET} = 2 : 1}).