Сначала найдем количество натуральных чисел $n$, которые удовлетворяют условию $585\le n\le 808$.

Вычислим количество натуральных чисел в этом интервале:

$$808-585+1=224$$

Теперь найдем количество чисел $n$ в этом интервале, которые делятся на 53.

Для этого найдем наименьшее и наибольшее число, которое делится на 53, в пределах нашего интервала.

Найдем наименьшее число, делящееся на 53, большее или равное 585. Для этого делим 585 на 53:

$$585÷53\approx 11.04$$

Округляем вверх до ближайшего целого числа:

$$12$$

Теперь умножаем на 53:

$$12\times 53=636$$

Найдем наибольшее число, делящееся на 53, меньшее или равное 808. Для этого делим 808 на 53:

$$808÷53\approx 15.25$$

Округляем вниз до ближайшего целого числа:

$$15$$

Теперь умножаем на 53:

$$15\times 53=795$$

Теперь определим количество чисел, делящихся на 53, в указанном интервале. Последовательность чисел, делящихся на 53, в пределах от 636 до 795:

$$636,689,742,795$$

Эти числа могут быть представлены как $53\times 12$, $53\times 13$, $53\times 14$ и $53\times 15$.

Таким образом, количество чисел делящихся на 53 в нашем интервале:

$$15-12+1=4$$

Теперь можем найти вероятность того, что случайно выбранное натуральное число $n$, удовлетворяющее условию $585\le n\le 808$, делится на 53:

$$P=\frac{\text{количество чисел, делящихся на 53}}{\text{общее количество чисел в интервале}}=\frac{4}{224}=\frac{1}{56}$$

Ответ: Вероятность того, что случайно выбранное натуральное число $n$ делится на 53, равна $\frac{1}{56}$.