Давайте проведем исследование функций и построим их графики.

А) Функция ( y = x + \frac{4}{x + 2} )1. Определение области определения (ОДЗ)

Функция определена для всех ( x ), кроме тех, для которых знаменатель равен нулю:

[
x + 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2
]

Таким образом, область определения:
[
D_y: x \in \mathbb{R}, x \neq -2
]

2. Нахождение производной и определение экстремумов

Найдем производную функции для изучения её возрастания и убывания:

[
y' = 1 - \frac{4}{(x + 2)^2}
]

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:

[
1 - \frac{4}{(x + 2)^2} = 0 \Rightarrow (x + 2)^2 = 4 \Rightarrow x + 2 = 2 \quad \text{или} \quad x + 2 = -2
]
[
x = 0 \quad \text{или} \quad x = -4
]

Теперь определим знак производной. Для этого рассмотрим интервалы:

( x < -4 ) — производная положительна, функция возрастает.( -4 < x < -2 ) — производная отрицательна, функция убывает.( -2 < x < 0 ) — производная положительна, функция возрастает.( x > 0 ) — производная положительна, функция возрастает.

Таким образом, критическая точка ( x = -4 ) — это минимум, а ( x = 0 ) не является минимумом или максимумом, так как функция возрастает после него.

3. Нахождение значений функции в важный точкахДля ( x = -4 ):
[
y(-4) = -4 + \frac{4}{-4 + 2} = -4 - 2 = -6
]Для ( x = -2 ) (проверим соседние значения):
[
y(-2 + \epsilon) \to +\infty \quad \text{(с правой стороны)}
]
[
y(-2 - \epsilon) \to -\infty \quad \text{(с левой стороны)}
]Для ( x = 0 ):
[
y(0) = 0 + \frac{4}{0 + 2} = 2
]4. Поведение на бесконечности

При ( x \to +\infty ), ( y \to +\infty ); при ( x \to -\infty ), ( y \to -\infty ).

5. График функции

На основе всех вышеизложенных пунктов мы можем построить график функции, который будет иметь минимум в точке ( (-4, -6) ).

Б) Функция ( y = (x - 1)e^{3x + 1} )1. Определение области определения

Функция определена для всех ( x ) (поскольку экспоненциальная функция всегда определена), так что:

[
D_y: x \in \mathbb{R}
]

2. Нахождение производной и определение экстремумов

Используем правило произведения:

[
y' = (1)e^{3x + 1} + (x - 1)(3)e^{3x + 1}
]
[
y' = e^{3x + 1}(1 + 3(x - 1)) = e^{3x + 1}(3x - 2)
]

Приравняем производную к нулю:

[
e^{3x + 1} \neq 0 \Rightarrow 3x - 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{3}
]

3. Нахождение значений функции в важный точках

Найдем значение функции в критической точке:

[
y\left(\frac{2}{3}\right) = \left(\frac{2}{3} - 1\right)e^{3(\frac{2}{3}) + 1} = \left(-\frac{1}{3}\right)e^{3} \approx -\frac{1}{3} e^{3}
]

4. Поведение на бесконечностиПри ( x \to +\infty ): ( y \to +\infty ) (экспоненциальный рост).При ( x \to -\infty ): ( y \to 0 ) (поскольку ( (x - 1) ) отрицательно и экспоненциальная функция стремится к нулю).5. График функции

Функция будет иметь минимум в точке ( \left(\frac{2}{3}, -\frac{1}{3} e^{3}\right) ), а затем будет возрастать к положительной бесконечности.

Резюме

Мы исследовали две функции, определили их области определения, критические точки, экстремумы и поведение на бесконечности. Теперь при помощи графических редакторов можно создать графики функций для визуального представления.