Чтобы доказать тождество

[
\frac{\sin \alpha}{1 - \cos \alpha} = \frac{1 + \cos \alpha}{\sin \alpha},
]

начнем с левой части и упростим её.

Левая часть:

[
\frac{\sin \alpha}{1 - \cos \alpha}.
]

Мы можем умножить числитель и знаменатель на (1 + \cos \alpha):

[
\frac{\sin \alpha(1 + \cos \alpha)}{(1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha)} = \frac{\sin \alpha(1 + \cos \alpha)}{1 - \cos^2 \alpha}.
]

Зная, что (1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha), получаем:

[
\frac{\sin \alpha(1 + \cos \alpha)}{\sin^2 \alpha} = \frac{1 + \cos \alpha}{\sin \alpha}.
]

Таким образом, мы преобразовали левую часть тождества в правую часть:

[
\frac{\sin \alpha}{1 - \cos \alpha} = \frac{1 + \cos \alpha}{\sin \alpha}.
]

Следовательно, тождество выполнено:

[
\frac{\sin \alpha}{1 - \cos \alpha} = \frac{1 + \cos \alpha}{\sin \alpha}.
]

Это завершает доказательство.