Чтобы упростить выражение 5−15+1\frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{5} + 1}5 +15 −1 , можно умножить числитель и знаменатель на сопряжённое выражение в знаменателе, т.е. на 5−1\sqrt{5} - 15 −1. Это поможет избавиться от иррациональности в знаменателе.
Итак, умножим:
5−15+1⋅5−15−1=(5−1)2(5+1)(5−1) \frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{5} + 1} \cdot \frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{5} - 1} = \frac{(\sqrt{5} - 1)^2}{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 1)}5 +15 −1 ⋅5 −15 −1 =(5 +1)(5 −1)(5 −1)2
Теперь рассмотрим числитель:
(5−1)2=5−25+1=6−25 (\sqrt{5} - 1)^2 = 5 - 2\sqrt{5} + 1 = 6 - 2\sqrt{5}(5 −1)2=5−25 +1=6−25
И рассмотрим знаменатель. Это разность квадратов:
(5)2−(1)2=5−1=4 (\sqrt{5})^2 - (1)^2 = 5 - 1 = 4(5 )2−(1)2=5−1=4
Теперь можем подставить полученные значения в дробь:
6−254 \frac{6 - 2\sqrt{5}}{4}46−25
Эту дробь можно упростить, выделив общий множитель в числителе:
64−254=32−52 \frac{6}{4} - \frac{2\sqrt{5}}{4} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}46 −425 =23 −25
Таким образом, окончательный ответ:
3−52 \frac{3 - \sqrt{5}}{2}23−5
Чтобы упростить выражение 5−15+1\frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{5} + 1}5 +15 −1 , можно умножить числитель и знаменатель на сопряжённое выражение в знаменателе, т.е. на 5−1\sqrt{5} - 15 −1. Это поможет избавиться от иррациональности в знаменателе.
Итак, умножим:
5−15+1⋅5−15−1=(5−1)2(5+1)(5−1) \frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{5} + 1} \cdot \frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{5} - 1} = \frac{(\sqrt{5} - 1)^2}{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 1)}
5 +15 −1 ⋅5 −15 −1 =(5 +1)(5 −1)(5 −1)2
Теперь рассмотрим числитель:
(5−1)2=5−25+1=6−25 (\sqrt{5} - 1)^2 = 5 - 2\sqrt{5} + 1 = 6 - 2\sqrt{5}
(5 −1)2=5−25 +1=6−25
И рассмотрим знаменатель. Это разность квадратов:
(5)2−(1)2=5−1=4 (\sqrt{5})^2 - (1)^2 = 5 - 1 = 4
(5 )2−(1)2=5−1=4
Теперь можем подставить полученные значения в дробь:
6−254 \frac{6 - 2\sqrt{5}}{4}
46−25
Эту дробь можно упростить, выделив общий множитель в числителе:
64−254=32−52 \frac{6}{4} - \frac{2\sqrt{5}}{4} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}
46 −425 =23 −25
Таким образом, окончательный ответ:
3−52 \frac{3 - \sqrt{5}}{2}
23−5