Чтобы решить задачу, давайте сначала обозначим необходимые элементы. Пусть у нас есть четырехугольник ( ABCD ), и обозначим следующие отрезки:

Отрезок, соединяющий середины сторон ( AB ) и ( CD ), обозначим как ( MN ).Отрезок, соединяющий середины сторон ( AD ) и ( BC ), обозначим как ( PQ ).

Согласно условию задачи:

Отрезок ( MN ) делит площадь четырехугольника пополам.Отрезок ( PQ ) делит площадь в отношении ( 13 : 15 ).

Рассмотрим отрезок ( MN ), который является медианой между сторонами ( AB ) и ( CD ). Медиана делит четырехугольник на две равные части, поэтому площадь верхнего треугольника равна площади нижнего треугольника.

Теперь рассмотрим отрезок ( PQ ). Он делит площадь четыреугольника в отношении ( 13 : 15 ), что означает, что если обозначить площадь всего четырехугольника как ( S ), то:

Площадь верхней части (где основание ( AB )) будет составлять ( \frac{13}{28} S ).Площадь нижней части (где основание ( CD )) будет составлять ( \frac{15}{28} S ).

Теперь можем сформулировать отношение оснований трапеции ( AB ) и ( CD ). Так как площади оснований ( AB ) и ( CD ) относительно высоты трапеции пропорциональны площадям:

[
\frac{AB}{CD} = \frac{Площадь\верхней\части}{Площадь\нижней\части} = \frac{\frac{13}{28} S}{\frac{15}{28} S} = \frac{13}{15}.
]

Таким образом, отношение оснований этой трапеции будет равно:

[
\frac{AB}{CD} = \frac{13}{15}.
]

Следовательно, основание ( AB ) и основание ( CD ) относятся как ( 13 : 15 ).