Решим обе задачи одну за другой.

В задаче нас просят определить, кто съел больше пирожных — мальчики или девочки. Из условия следует, что:
Оля съела больше всех.Лёша съел меньше всех.

Следовательно, мальчики: Игорь и Лёша, девочки: Таня и Оля.

Так как Оля (девочка) съела больше всех, она уже превышает по количеству пирожных всех мальчиков, включая Игоря, так как Лёша съел меньше всех. Это значит, что девочки в целом съели больше пирожных, чем мальчики.

Ответ: Девочки съели больше пирожных, чем мальчики.

Рассмотрим вторую задачу по ключам.

Обозначим:

( x ) — количество ключей в ящике изначально.( k ) — количество ключей в одной связке.

Согласно условию, когда я положил свою связку ключей, количество ключей в ящике возросло не более чем на треть, то есть

[
x + k \leq x + \frac{x}{3} \implies k \leq \frac{x}{3}.
]

Когда мой брат положил свою связку, количество ключей возросло как минимум на четверть:

[
x + 2k \geq x + \frac{x}{4} \implies 2k \geq \frac{x}{4} \implies k \geq \frac{x}{8}.
]

Теперь у нас есть два неравенства для ( k ):

( k \leq \frac{x}{3} )( k \geq \frac{x}{8} )

Это означает, что:

[
\frac{x}{8} \leq k \leq \frac{x}{3}.
]

Если бы в каждой связке было на один ключ больше, тогда ( k + 1 ) заменяет ( k ).
Тогда неравенства изменятся:

( k + 1 \leq \frac{x}{3} \Rightarrow k \leq \frac{x}{3} - 1 )( 2(k + 1) \geq \frac{x}{4} \Rightarrow 2k + 2 \geq \frac{x}{4} \Rightarrow 2k \geq \frac{x}{4} - 2 \Rightarrow k \geq \frac{x}{8} - 1 )

Теперь у нас есть новые неравенства:

[
\frac{x}{8} - 1 \leq k \leq \frac{x}{3} - 1.
]

Сравнивая границы первого и второго наборов неравенств, мы получаем систему:

( \frac{x}{8} \leq k < \frac{x}{3} )( k \geq \frac{x}{8} - 1 ) и ( k < \frac{x}{3} - 1 )

Решим:

Из уравнения ( k \geq \frac{x}{8} - 1 ) и подставляя ( k ) из первого неравенства:

[
\frac{x}{8} - 1 \leq \frac{x}{3}.
]

Это можно упростить, получим:

[
\frac{x}{8} - \frac{x}{3} \leq 1 \implies \frac{3x - 8x}{24} \leq 1 \implies -\frac{5x}{24} \leq 1 \implies x \geq -\frac{24}{5} \text{ (что не имеет смысла)}.
]

Решая ( \frac{x}{8} \leq \frac{x}{3} - 1 ) получаем:

[
\frac{x}{8} + 1 \leq \frac{x}{3}.
]
Можно решить и вывести, что:

Переписываем уравнение как

[
\frac{x}{8} - \frac{x}{3} \leq -1 \Rightarrow \frac{3x - 8x}{24} \leq -1 \Rightarrow -\frac{5x}{24} \leq -1 \Rightarrow x \geq \frac{24}{5} \text{ (положительный)}.
]

Мы уже получили, что минимально ( x ) должно быть больше 8, чтобы выполнять условия.

Так как ( k ) должно быть целочисленным, пробуем целые числа для ( x ).

Если ( x = 24 ):

( k \leq 8 ) (т.е. может быть 1-8)( k \geq 2 ) (т.е., итог выходит в к, от 2-8)

Далее, ( k = 8 ) подходит и радует другую часть условия.

Финальное значение ( x = 24 ).

Ответ: В ящике стола первоначально было 24 ключа.