Для нахождения длин сторон треугольника и углов между ними, сначала нужно найти длины сторон, используя координаты вершин. Длины сторон треугольника определяются как расстояния между заданными точками в пространстве.

Дано:

( A(-1, -2, 4) )( B(-4, -2, 0) )( C(3, -2, 1) )1. Найдем длины сторон треугольника

Длина стороны ( AB ):
[
AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2} = \sqrt{((-4) - (-1))^2 + ((-2) - (-2))^2 + (0 - 4)^2}
]
[
= \sqrt{(-3)^2 + (0)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 0 + 16} = \sqrt{25} = 5
]

Длина стороны ( BC ):
[
BC = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2 + (z_C - z_B)^2} = \sqrt{(3 - (-4))^2 + ((-2) - (-2))^2 + (1 - 0)^2}
]
[
= \sqrt{(7)^2 + (0)^2 + (1)^2} = \sqrt{49 + 0 + 1} = \sqrt{50} \approx 7.07
]

Длина стороны ( AC ):
[
AC = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2 + (z_C - z_A)^2} = \sqrt{(3 - (-1))^2 + ((-2) - (-2))^2 + (1 - 4)^2}
]
[
= \sqrt{(4)^2 + (0)^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 0 + 9} = \sqrt{25} = 5
]

Итак, длины сторон треугольника:

( AB = 5 )( BC \approx 7.07 )( AC = 5 )2. Найдем углы треугольника

Угол можно найти с помощью формулы косинуса угла:
[
\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}
]
где ( a, b, c ) — длины сторон, а ( C ) — угол напротив стороны ( c ).

Обозначим:

( a = BC )( b = AC )( c = AB )

Угол ( A ) (мекоз угол ( BAC )):
[
\cos A = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} = \frac{5^2 + 5^2 - (7.07)^2}{2 \cdot 5 \cdot 5} = \frac{25 + 25 - 50}{50} = 0 \implies A = 60^\circ
]

Угол ( B ) (мекоз угол ( ABC )):
[
\cos B = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC} = \frac{5^2 + (7.07)^2 - 5^2}{2 \cdot 5 \cdot 7.07}
]
[
= \frac{25 + 50 - 25}{70.7} \approx \frac{50}{70.7} \implies B \approx 45.57^\circ
]

Угол ( C ) (мекоз угол ( ACB )):
Угол ( C ) можно найти, используя общий факт, что сумма углов в треугольнике равна ( 180^\circ ):
[
C = 180^\circ - A - B \approx 180^\circ - 60^\circ - 45.57^\circ \approx 74.43^\circ
]

3. Результаты

Длины сторон:

( AB = 5 )( BC \approx 7.07 )( AC = 5 )

Углы:

( A \approx 60^\circ )( B \approx 45.57^\circ )( C \approx 74.43^\circ )