Чтобы найти площадь поверхности шара, описанного около конуса, сначала найдем радиус этого шара.

Определение высоты и радиуса основания конуса:
Площадь осевого сечения конуса равна ( S = \frac{1}{2} \times h \times r ), где ( h ) — высота конуса, а ( r ) — радиус основания.
Дано: ( S = 16 \sqrt{3} ).

Угол наклона образующей:
Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 30°. Значит, можно выразить радиус основания и высоту через образующую ( l ):
[
h = l \cdot \cos(30°) = l \cdot \frac{\sqrt{3}}{2},
]
[
r = l \cdot \sin(30°) = l \cdot \frac{1}{2}.
]

Вводим формулы в площадь осевого сечения:
Теперь подставим ( h ) и ( r ) в уравнение площади осевого сечения:
[
16\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot (l \cdot \cos(30°)) \cdot (l \cdot \sin(30°)) = \frac{1}{2} \cdot \left(l \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \left(l \cdot \frac{1}{2}\right).
]
Это упростится:
[
16\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot l^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \Rightarrow 16\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{8} l^2.
]
Умножим обе стороны на 8:
[
128\sqrt{3} = \sqrt{3}l^2.
]
Разделим на ( \sqrt{3} ):
[
128 = l^2 \Rightarrow l = 8.
]

Определение высоты ( h ) и радиуса ( r ):
Теперь найдем высоту ( h ) и радиус ( r ):
[
h = l \cdot \cos(30°) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3},
]
[
r = l \cdot \sin(30°) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4.
]

Радиус описанного шара:
Радиус шара ( R ) равен ( \frac{\sqrt{r^2 + h^2}}{2} ):
[
R = \frac{\sqrt{4^2 + (4\sqrt{3})^2}}{2} = \frac{\sqrt{16 + 48}}{2} = \frac{\sqrt{64}}{2} = \frac{8}{2} = 4.
]

Площадь поверхности шара:
Площадь поверхности шара:
[
S{sphere} = 4\pi R^2,
]
где ( R = 4 ):
[
S{sphere} = 4\pi \cdot 4^2 = 4\pi \cdot 16 = 64\pi.
]

С учетом, что ( \pi \approx 3 ):
[
S_{sphere} \approx 64 \cdot 3 = 192.
]

Ответ: площадь поверхности описанного шара приблизительно равна 192.