Для решения уравнения (x^2 + 6x + y^2 - 10y + 34 = 0) начнем с приведения его к более удобному виду, выделив полный квадрат для (x) и (y).

Выделяем полный квадрат для (x):
[
x^2 + 6x = (x + 3)^2 - 9
]

Выделяем полный квадрат для (y):
[
y^2 - 10y = (y - 5)^2 - 25
]

Теперь подставим эти выражения в исходное уравнение:
[
(x + 3)^2 - 9 + (y - 5)^2 - 25 + 34 = 0
]

Упрощаем уравнение:
[
(x + 3)^2 + (y - 5)^2 - 9 - 25 + 34 = 0
]
[
(x + 3)^2 + (y - 5)^2 = 0
]

Чтобы сумма квадратов равнялась нулю, каждое из этих выражений должно равняться нулю:
[
(x + 3)^2 = 0 \quad \text{и} \quad (y - 5)^2 = 0
]

Следовательно, имеем:
[
x + 3 = 0 \implies x = -3
]
[
y - 5 = 0 \implies y = 5
]

Таким образом, единственное решение уравнения:
[
\boxed{(-3, 5)}
]