Давайте рассмотрим задачу.

Обозначим стороны прямоугольника как ( a ) и ( b ). По условию задачи мы имеем:

Площадь: ( ab = 20 ) (м²)Периметр: ( 2(a + b) = 20 ) (м), что можно упростить до ( a + b = 10 ).

Теперь у нас есть система уравнений:

[
\begin{cases}
ab = 20 \
a + b = 10
\end{cases}
]

Из второго уравнения выразим одну из сторон через другую. Например:

[
b = 10 - a
]

Подставим это выражение во первое уравнение:

[
a(10 - a) = 20
]

Раскроем скобки:

[
10a - a^2 = 20
]

Переместим всё на одну сторону:

[
-a^2 + 10a - 20 = 0
]

Умножим на -1 для удобства:

[
a^2 - 10a + 20 = 0
]

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

[
D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 100 - 80 = 20
]

Поскольку дискриминант больше нуля, у уравнения есть два различных корня:

[
a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{10 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 5 \pm \sqrt{5}
]

Теперь найдем значения ( a ) и ( b ):

Таким образом, стороны прямоугольника будут:

[
a_1 = 5 + \sqrt{5}, \quad b_1 = 5 - \sqrt{5}
]

или

[
a_2 = 5 - \sqrt{5}, \quad b_2 = 5 + \sqrt{5}
]

Каждая пара сторон удовлетворяет исходным условиям задачи (площадь и периметр).

Таким образом, существует решение: стороны прямоугольника равны ( 5 + \sqrt{5} ) метров и ( 5 - \sqrt{5} ) метров.