Чтобы решить задачу о количестве способов построения дорог в Губернии, следует использовать теорию графов. Первое, что нужно понять — это то, что губернатор хочет построить связное графическое представление между городами и деревнями, где между любыми двумя поселениями не должно быть более одной дороги.

Рассмотрим поочередно каждый из пунктов:

а) ( a = 4, b = 4 ), из каждого города ведёт по 5 дорог, а из каждой деревни по 1.

Здесь имеется 4 города и 4 деревни. Каждый город соединяется с 5 поселениями (городами и деревнями вместе).

Эта задача не имеет реального решения, поскольку 5 дорог из каждого города (4 города) требуют, чтобы в общей сложности было 20 соединений, в то время как всего имеется 8 поселений. Поэтому в этом случае число способов равно 0.

б) ( a = 2, b = 6 ), из каждого города ведёт по 4 дороги, а из каждой деревни по 1.

В этом случае 2 города и 6 деревень.

Города имеют по 4 дороги, что суммарно даёт 8 соединений, из которых 2 должны соединять два города. У нас 6 деревень, каждая из которых может иметь дорогу только к одному городу. Таким образом, каждый город должен соединяться с 4 поселениями, однако каждый из них должен соединяться дважды (иначе, по условию, было бы более одной дороги). Такая структура построить невозможно. Таким образом, количество способов равно 0.

в) ( a = 3, b = 5 ), из каждого города ведёт по 3 дороги, а из каждой деревни по 1.

Здесь 3 города и 5 деревень.

Каждый город должен иметь 3 дороги, что в сумме даёт 9 соединений. Если деревни могут иметь лишь по одной дороге, то на 5 деревень у нас есть 5 дорог. Чтобы связать 3 города друг с другом и деревьями, необходимо создать связи так, чтобы каждого города соединяли с 2 деревнями и 1 городом (или 1 с другим, но так, чтобы не было избыточных соединений). Также, у нас немного больше связей, чем нужно, что делает невозможным построение такого графа. Таким образом, число способов равно 0.

г) ( a = 4, b = 4 ), из двух городов ведут 2 дороги, из других двух по 3, а из каждой деревни по 1.

Здесь 4 города и 4 деревни.

Пусть назовем города ( C_1, C_2, C_3, C_4 ).

( C_1 ) и ( C_2 ) имеют 2 дороги;( C_3 ) и ( C_4 ) имеют по 3 дороги;Каждая деревня соединена к одному городу.

Чтобы их связать, мы можем выделить мосты между городами, и у нас есть 4 деревни, которые могут быть связаны с 3 разными городами (из 3 имеющихся). После этого, важно, чтобы обеспечить соединение между деревнями с городами.

Так как деревни могут соединяться с любыми городами, учитывая заданное количество дорог из каждого города, мы получим 0 связей, поскольку иметь 4 города и 4 деревни с числом дорог как в условии невозможно.

Таким образом, ключевой вывод заключается в том, что для каждого из пунктов количество возможных способов соединений равно 0.