Чтобы сравнить значения (\cos\frac{4\pi}{9}) и (\cos\frac{\pi}{9}), полезно знать, в каких четвертях находятся эти углы и как ведёт себя функция косинуса на отрезках, на которых определены эти углы.

Определение четвертей:

Угол (\frac{\pi}{9}) равен примерно 20 градусов, что лежит в первой четверти (0 до (\frac{\pi}{2})).Угол (\frac{4\pi}{9}) равен примерно 80 градусов, что также лежит в первой четверти.

Косинус в первой четверти:

В первой четверти функция косинуса убывает. Это значит, что если угол (x) меньше угла (y) в пределах первой четверти, то (\cos x > \cos y).

Сравнение углов:

Учитывая, что (\frac{\pi}{9} < \frac{4\pi}{9}), можно сказать, что:
[
\cos\frac{\pi}{9} > \cos\frac{4\pi}{9}.
]

Таким образом, (\cos\frac{4\pi}{9} < \cos\frac{\pi}{9}).

График функции косинуса:На графике функции косинуса видно, что он убывает на интервале ([0; \pi]). Поэтому, когда вы работаете с углами в пределах первой или второй четверти (как в этом случае), вы можете просто сравнить сам углы.

Итак, окончательный вывод:
(\cos\frac{4\pi}{9} < \cos\frac{\pi}{9}).