Чтобы найти значение экстремума функции ( y(x) = x^3 + 3x^2 - x + 8 ), необходимо выполнить следующие шаги:

Найти первую производную функции:
[
y'(x) = 3x^2 + 6x - 1
]

Найти точки экстремума, приравняв первую производную к нулю:
[
3x^2 + 6x - 1 = 0
]

Решим это квадратное уравнение с помощью формулы:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
где ( a = 3 ), ( b = 6 ), ( c = -1 ).

Подставляем значения:
[
x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1)}}{2 \cdot 3} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 12}}{6} = \frac{-6 \pm \sqrt{48}}{6} = \frac{-6 \pm 4\sqrt{3}}{6} = \frac{-3 \pm 2\sqrt{3}}{3}
]

Таким образом, точки экстремума:
[
x_1 = \frac{-3 + 2\sqrt{3}}{3}, \quad x_2 = \frac{-3 - 2\sqrt{3}}{3}
]

Теперь найдём значения функции ( y(x) ) в этих точках.

Для ( x_1 = \frac{-3 + 2\sqrt{3}}{3} ):
[
y(x_1) = \left(\frac{-3 + 2\sqrt{3}}{3}\right)^3 + 3\left(\frac{-3 + 2\sqrt{3}}{3}\right)^2 - \left(\frac{-3 + 2\sqrt{3}}{3}\right) + 8
]

Для ( x_2 = \frac{-3 - 2\sqrt{3}}{3} ):
[
y(x_2) = \left(\frac{-3 - 2\sqrt{3}}{3}\right)^3 + 3\left(\frac{-3 - 2\sqrt{3}}{3}\right)^2 - \left(\frac{-3 - 2\sqrt{3}}{3}\right) + 8
]

Эти вычисления могут быть довольно громоздкими. Вместо этого, можно просто подставить значения ( x_1 ) и ( x_2 ) в исходное уравнение численно, чтобы получить значение экстремума.

В результате вы получите два значения функции, которые будут соответствовать максимуму и минимуму на заданном интервале. Чтобы выяснить, какой из них является максимумом, а какой минимумом, можно использовать вторую производную или просто проанализировать знак первой производной в окрестности этих точек.

Если вам нужно конкретное значение результата, дайте знать, и я помогу вам с вычислениями.