Чтобы выразить ( \log_5(54) ) через ( a ) и ( b ), запишем сначала, что:

[
54 = 2 \cdot 3^3
]

По свойству логарифмов:

[
\log_5(54) = \log_5(2 \cdot 3^3) = \log_5(2) + \log_5(3^3) = \log_5(2) + 3 \log_5(3)
]

Теперь нам нужно выразить ( \log_5(2) ) и ( \log_5(3) ) через ( a ) и ( b ):

Известно, что ( a = \log_5(3) ).Используем изменение основания для получения ( \log_5(2) ):

[
\log_5(2) = \frac{\log_3(2)}{\log_3(5)} = \frac{b}{\log_3(5)}
]

Для нахождения ( \log_3(5) ) воспользуемся изменением основания:

[
\log_3(5) = \frac{1}{\log_5(3)} = \frac{1}{a}
]

Таким образом, мы имеем:

[
\log_5(2) = b \cdot a
]

Теперь подставим значение ( \log_5(2) ) и ( \log_5(3) ) обратно в уравнение для ( \log_5(54) ):

[
\log_5(54) = \log_5(2) + 3 \log_5(3) = b \cdot a + 3a
]

Таким образом, окончательно:

[
\log_5(54) = ba + 3a
]

Это выражение для ( \log_5(54) ) через ( a ) и ( b ).