Чтобы решить уравнение ( \frac{x}{y} = x - 7y ), начнем с того, что умножим обе стороны на ( y ) (при условии, что ( y \neq 0 )):

[
x = y(x - 7y)
]

Теперь раскроем скобки:

[
x = xy - 7y^2
]

Перепишем уравнение таким образом:

[
xy - 7y^2 - x = 0
]

Это уравнение можно рассматривать как квадратное по ( y ):

[
-7y^2 + xy - x = 0
]

Применим формулу для решения квадратного уравнения ( ay^2 + by + c = 0 ), где:

( a = -7 )( b = x )( c = -x )

Найдём дискриминант ( D ):

[
D = b^2 - 4ac = x^2 - 4(-7)(-x) = x^2 - 28x
]

Для того чтобы уравнение имело действительные решения, дискриминант должен быть неотрицательным:

[
D \geq 0
]

Решим неравенство:

[
x^2 - 28x \geq 0
]

Вынесем ( x ) за скобки:

[
x(x - 28) \geq 0
]

Теперь найдем корни уравнения ( x(x - 28) = 0 ), которые даёт ( x = 0 ) и ( x = 28 ). Исследуем знаки:

При ( x < 0 ): произведение отрицательно.При ( 0 < x < 28 ): произведение положительно.При ( x > 28 ): произведение положительно.

Таким образом, решение неравенства:

[
x \leq 0 \quad \text{или} \quad x \geq 28
]

Теперь найдём ( y ) через ( x ). Используя формулу корней для квадратного уравнения:

[
y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-x \pm \sqrt{x^2 - 28x}}{-14} = \frac{x \pm \sqrt{x^2 - 28x}}{14}
]

Таким образом, все решения уравнения ( \frac{x}{y} = x - 7y ) можно записать как:

[
y = \frac{x + \sqrt{x^2 - 28x}}{14} \quad \text{и} \quad y = \frac{x - \sqrt{x^2 - 28x}}{14}
]

Для ( x \leq 0 ) или ( x \geq 28 ).