Для нахождения высоты равнобокой трапеции, вписанной в окружность, можно использовать следующий подход.

Известно, что для равнобокой трапеции, вписанной в окружность, выполняется равенство:

[
h = \frac{2S}{a + b}
]

где:

( h ) — высота трапеции,( S ) — площадь трапеции,( a ) и ( b ) — основания трапеции.

В нашем случае основания равнобокой трапеции:

( a = AD = 20 )( b = BC = 12 )

Для нахождения площади трапеции используется формула:

[
S = \frac{(a + b) \cdot h}{2}
]

Так как трапеция вписана в окружность, можем использовать формулу для площади через радиус окружности ( R ) и стороны трапеции. Однако для вычисления высоты нам также понадобится знать площадь.

Сначала найдем сумму оснований:

[
a + b = 20 + 12 = 32
]

Теперь попробуем выразить высоту через разность оснований. Высота ( h ) можно выразить через отрезки на боковых сторонах трапеции. Так как трапеция равнобокая, воспользуемся свойством диагоналей.

В равнобокой трапеции высота будет равна:

[
h = \sqrt{c^2 - \left(\frac{a - b}{2}\right)^2}
]

где ( c ) — длины боковых сторон, которые равны между собой. Используя теорему о вписанной трапеции, мы можем определить их:

По формуле для высоты и зная основания, мы можем выразить ( c ):

Сначала найдем полусумму оснований:

[
s = \frac{a + b}{2} = \frac{20 + 12}{2} = 16
]

Вычисление высоты осуществляется по формуле площади стороны:

[
h = \frac{2S}{a + b} = \frac{(a + b) \cdot h}{2}
]

Тогда непосредственно высоту можно найти приближённо по формуле:

[
h = \sqrt{(R^2) - \left(\frac{(a-b)}{2}\right)^2}
]

Площадь ( S ) можно посчитать, если зная радиус ( R ), если бы вы его предоставили. Например, если ( R = 10 ):

[
h = \sqrt{10^2 - \left(\frac{20 - 12}{2}\right)^2}
= \sqrt{100 - 8} = \sqrt{92} \approx 9.59
]

Но высота трапеции, используя правильный расчет, будет:

[
h = \frac{(20 - 12)}{2} = 4 и h = \sqrt{4^2 + \left(\frac{20 - 12}{2}\right)^2} = 8
]

По формулу:

Итог:
Высота равнобокой трапеции АВСD равна 8, при данном радиусе окружности.