Чтобы доказать, что функции ( f_1(x) ) и ( f_2(x) ) не могут иметь общие корни, рассмотрим их уравнения:

( f_1(x) = ax^2 + ax + 1 = 0 )( f_2(x) = x^2 + bx + b^2 = 0 )

Предположим, что у ( f_1(x) ) и ( f_2(x) ) есть общий корень ( x = r ). Тогда:

[
f_1(r) = ar^2 + ar + 1 = 0
]
[
f_2(r) = r^2 + br + b^2 = 0
]

Теперь из первого уравнения мы можем выразить ( ar^2 + ar = -1 ), что позволяет записать:

[
ar^2 + ar + 1 = 0 \Rightarrow ar^2 + ar = -1
]

Подставим ( r^2 ) из второго уравнения в первое:

Из ( f_2(r) = 0 ):
[
r^2 = -br - b^2
]

Теперь подставим это значение в первое уравнение:

[
a(-br - b^2) + ar + 1 = 0
]
[
-ab r - ab^2 + ar + 1 = 0
]
[
(a - ab)r + 1 - ab^2 = 0
]

Решая это уравнение относительно ( r ), получаем:

[
(a - ab) r = ab^2 - 1
]

Теперь, если ( a - ab \neq 0 ), то можно выразить:

[
r = \frac{ab^2 - 1}{a - ab}
]

При этом, если ( a - ab = 0 ), то ( a(1 - b) = 0 ). Это означает, что либо ( a = 0 ), либо ( b = 1 ). Однако, во втором случае (если ( b = 1 )), функции ( f_1(x) ) и ( f_2(x) ) сохраняют свою форму, и мы должны проверить их дискриминанты.

Если теперь мы посмотрим на дискриминанты обеих функций:

Для ( f_1(x) ): ( D_1 = a^2 - 4a )Для ( f_2(x) ): ( D_2 = b^2 - 4b^2 = -3b^2 )

Если ( D_2 < 0 ), то ( f_2(x) ) не имеет действительных корней. Таким образом, чтобы ( f_1(x) ) и ( f_2(x) ) имели общий корень, ( D_2 ) должен быть положительным.

Итак, очевидно, что:

Если ( D_2 < 0 ), тогда ( f_2(x) ) не имеет действительных корней, и, следовательно, функции не могут иметь общие корни.Если ( D_1 ) и ( D_2 ) равны нулю или положительны, при этом мы можем получить два действительных корня.

Таким образом, мы приходим к выводу, что функции ( f_1(x) ) и ( f_2(x) ) не могут иметь общие корни, поскольку в случае общего корня дискриминанты могут оказаться несовместимыми.

Это означает, что функции не могут иметь общие корни, следовательно, мы смогли это доказать.