Для решения уравнения ( |x^2 - 6x - 7| = \frac{(\sqrt{3} - 2)(x + 2)}{|x + 2|} ), начнем с анализа обоих выражений.

Левая часть:

Рассмотрим выражение под модулем:
[ x^2 - 6x - 7 ]
Это можно разложить как:
[ x^2 - 6x - 7 = (x - 7)(x + 1) ]
Определим нули: ( x = 7 ) и ( x = -1 ).

Левую часть уравнения разберем на отрезках:

Если ( x < -1 ), то ( x^2 - 6x - 7 > 0 ) и ( |x^2 - 6x - 7| = x^2 - 6x - 7 ).Если ( -1 < x < 7 ), то ( x^2 - 6x - 7 < 0 ) и ( |x^2 - 6x - 7| = -(x^2 - 6x - 7) = -x^2 + 6x + 7 ).Если ( x > 7 ), то ( x^2 - 6x - 7 > 0 ) и ( |x^2 - 6x - 7| = x^2 - 6x - 7 ).Правая часть:

Обозначим:
[ k = \frac{(\sqrt{3}-2)(x+2)}{|x+2|} ]
Для ( x \neq -2 ):

Если ( x + 2 > 0 ) (то есть ( x > -2 )), то ( |x + 2| = x + 2 ) и ( k = \sqrt{3} - 2 ).Если ( x + 2 < 0 ) (то есть ( x < -2 )), то ( |x + 2| = -(x + 2) ) и ( k = 2 - \sqrt{3} ).

Теперь рассмотрим разные случаи в зависимости от значений ( x ).

Случай 1: ( x < -2 )

В этом случае:

Правая часть: ( k = 2 - \sqrt{3} ) (число положительное).Левая часть: ( |x^2 - 6x - 7| = x^2 - 6x - 7 ).

Таким образом, уравнение:
[ x^2 - 6x - 7 = 2 - \sqrt{3} ]
Решим это уравнение:
[ x^2 - 6x - (9 - \sqrt{3}) = 0 ]
Дискриминант:
[ D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9 + \sqrt{3}) = 36 + 36 - 4\sqrt{3} = 72 - 4\sqrt{3} ]

Решения:
[
x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{72 - 4\sqrt{3}}}{2}
]

Проверим, укладываются ли ( x ) полученные в интервал ( (-\infty, -2) ).

Случай 2: ( -2 < x < -1 )

Здесь:

Правая часть: ( k = \sqrt{3} - 2 ) (это отрицательное число).Левая часть: ( |x^2 - 6x - 7| = -x^2 + 6x + 7 ).

Уравнение:
[ -x^2 + 6x + 7 = \sqrt{3} - 2 ]
Решим его:
[ -x^2 + 6x + 9 - \sqrt{3} = 0 ]
Дискриминант:
[ D = 36 + 4(\sqrt{3} - 9) = 36 + 4\sqrt{3} - 36 = 4\sqrt{3} ]

Решения:
[
x_{1,2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{\sqrt{3}}}{2} = 3 \pm \sqrt{3}
]
А эти не укладываются в ( (-2, -1) ).

Случай 3: ( -1 < x < 7 )

Тут:

Правая часть: ( k = \sqrt{3} - 2 ).Левая часть: ( |x^2 - 6x - 7| = -x^2 + 6x + 7 ).

Равенство:
[ -x^2 + 6x + 7 = \sqrt{3} - 2 ]
Решения те же законы. Не укладываются в ( (-1, 7) ) и так далее.

Случай 4: ( x > 7 )

Левая: ( x^2 - 6x - 7 )
Правая часть: ( \sqrt{3} - 2 )

Следовательно, все случаи показывают, что при анализе оснований и оснований, получаем отсутствие решений в пределах всех интервалов. Объединяя все, можно заключить, что уравнение не имеет решений.