Чтобы найти уравнение касательной к кривой ( y = (2x^2 + 7x - 5) \cos(7x) ) в точке ( x = k ), следуем следующим шагам:

Найти значение функции в точке ( x = k ): [
y(k) = (2k^2 + 7k - 5) \cos(7k)
]

Найти производную функции ( y ) и её значение в точке ( x = k ): Для нахождения производной воспользуемся произведением и цепным правилами:
[
y' = (2x^2 + 7x - 5)' \cos(7x) + (2x^2 + 7x - 5)(\cos(7x))'
]
Здесь
[
(2x^2 + 7x - 5)' = 4x + 7,
]
[
(\cos(7x))' = -7 \sin(7x).
]
Теперь подставим это в уравнение производной:
[
y' = (4x + 7) \cos(7x) + (2x^2 + 7x - 5)(-7 \sin(7x)).
]

В точке ( x = k ):
[
y'(k) = (4k + 7) \cos(7k) + (2k^2 + 7k - 5)(-7 \sin(7k)).
]

Записать уравнение касательной: Уравнение касательной к кривой в точке ( (k, y(k)) ) можно записать в виде:
[
y - y(k) = y'(k)(x - k).
]
Подставим значения:
[
y - (2k^2 + 7k - 5) \cos(7k) = \left((4k + 7) \cos(7k) - (2k^2 + 7k - 5) \cdot 7 \sin(7k)\right)(x - k).
]

Таким образом, получаем полное уравнение касательной в точке ( x = k ).